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作者簡介：高慶豐（1979-），男，內(nèi)蒙古呼和浩特人，助工，碩士，主要從事導(dǎo)彈總體技術(shù)研究。
通信地址：100854北京142信箱30分箱
高慶豐1，劉莉2，陳羅婧2
（1．中國航天科工集團(tuán)公司 二院二部，北京100854；2.北京理工大學(xué) 飛行器工程系，北京100081）

摘要：在彈體坐標(biāo)系和準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中建立了旋轉(zhuǎn)飛行器角運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用李亞普諾夫第一近似理論和勞斯-霍爾維茨方法導(dǎo)出了旋轉(zhuǎn)飛行器的非線性運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)，這個判據(jù)可應(yīng)用于有控旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動穩(wěn)定性分析，也可應(yīng)用到炮彈和火箭彈上。
關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)飛行器；非線性；穩(wěn)定性
中圖分類號：V412；TJ415；O242.2 TJ7611＋3;文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009086X（2006）01001905

Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles
GAO Qingfeng1，LIU Li2，CHEN Luojing2
（1．The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC，Beijing 100854，China;
2．Beijing Institute of Technology，Department of Flight Vehicle Engineering，Beijing 100081，China）

Abstract:The angular motion mathematical model of rotative vehicles is established in the body coordinate system and the quasibody coordinate system.Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles are derived by the Liapunov′s first method and the RouthHurwitz stability criterion,this criteria can be applied to the dynamic stability analysis of controlled rotative missiles,projectiles and rockets.
Key words:Rotative vehicle；Nonlinear；Stability

1引言
旋轉(zhuǎn)飛行器是指在飛行過程中，繞其縱軸自旋的一類飛行器，通常包括小型防空導(dǎo)彈、反坦克導(dǎo)彈、炮彈和火箭彈等。
反坦克導(dǎo)彈有無控的起始飛行段，對這類導(dǎo)彈進(jìn)行設(shè)計時，要對其彈體的動態(tài)特性提出穩(wěn)定性要求。如果用經(jīng)典的方法設(shè)計制導(dǎo)系統(tǒng)，也往往首先要研究彈體穩(wěn)定性問題。而對于炮彈和火箭彈，運(yùn)動穩(wěn)定性更是首要的［1］。
2符號說明
a1，b1為與升力和側(cè)向力有關(guān)的動力系數(shù)；a2，b2為與馬格努斯力有關(guān)的動力系數(shù)；a3，b3為與俯仰力矩和偏航力矩有關(guān)的動力系數(shù)；a4，b4為與馬格努斯力矩有關(guān)的動力系數(shù)；a5，b5為與阻尼力矩有關(guān)的動力系數(shù)；a6，b6為與轉(zhuǎn)速有關(guān)的動力系數(shù)；α，β為彈體坐標(biāo)系中的攻角和側(cè)滑角；αf，βf準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中的攻角和側(cè)滑角；ωz1，ωy1為彈體坐標(biāo)系中的俯仰和偏航角速度；ωzf，ωyf為準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中的俯仰和偏航角速度；P0為發(fā)動機(jī)推力；q為動壓；S為參考面積；L為參考長度；m為質(zhì)量；v為速度；ωx為彈體繞縱軸的旋轉(zhuǎn)角速度；ξ~為復(fù)攻角；cαy，cα3y為線性和立方升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；cαz，cα3z為線性和立方側(cè)向力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；cβy，cβz為氣動交叉力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；mαz，mα3z為線性和立方俯仰力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)；mβy，mβ3y為線性和立方偏航力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)；mαy，mβz為馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)；mωzz，mωyy為俯仰阻尼和偏航阻尼力矩系數(shù)；Jx，Jy，Jz為相對彈體坐標(biāo)系各軸的轉(zhuǎn)動慣量；t為時間；s為彈道弧長；σ為穩(wěn)定性系數(shù)。
3旋轉(zhuǎn)飛行器角運(yùn)動數(shù)學(xué)模型
有一類小型防空導(dǎo)彈，彈體在飛行中以一定的角速度繞自身縱軸旋轉(zhuǎn)，采用單通道控制，由一對舵面同時控制導(dǎo)彈的俯仰運(yùn)動和偏航運(yùn)動，因此其氣動外形是面對稱的。
為了便于討論，建立與彈體固聯(lián)的彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1和不隨彈體旋轉(zhuǎn)的準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Oxfyf zf，它們都以彈體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，彈體坐標(biāo)系Ox1軸與彈體縱軸重合，向前為正，Oy1軸垂直于Ox1軸及舵軸。Oz1軸與Ox1軸和Oy1軸形成右手系。準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Oxf軸與Ox1軸重合，Oyf 軸垂直于Oxf 軸指向上，Ozf 軸與Oxf 軸和Oyf軸形成右手系。
現(xiàn)代防御技術(shù)·導(dǎo)彈技術(shù)高慶豐，劉莉，陳羅婧：旋轉(zhuǎn)飛行器非線性運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)現(xiàn)代防御技術(shù)2006年第34卷第1期忽略重力的影響，以彈體坐標(biāo)系表征的自由運(yùn)動中力和力矩的平衡方程分別為［2］α·
β·＋a1〖〗a2＋ωx
－（b2＋ωx）〖〗b1α
β－ωz1
ωy1＝0，（1）
ω·z1
ω·y1＝a3〖〗a4
－b4〖〗b3α
β＋
ωx－a6〖〗a5
b5〖〗－（b6－ωx）ωy1
ωz1，（2）式（1）和式（2）中：a1＝［P0＋qS（cαy＋cα3yα2）］/mv， b1＝［P0－qS（cαz＋cα3zα2）］/mv，
a2＝qScβz/mv， b2＝qScβy/mv，
a3＝qSL(mαz＋mα3z)/Jz, b3＝qSL（mβy＋mβ3y）/Jy，
a4＝qSLmαy/Jz， b4＝qSLmβz/Jy，
a5＝qSL2mωzz/Jzv， b5＝qSL2mωyy/Jyv，
a6＝（Jx/Jz）ωx， b6＝（Jx/Jy）ωx 通過坐標(biāo)變換，以準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系表征的自由運(yùn)動中力和力矩的平衡方程分別為［2］ω·yf
ω·zf＋－（a5＋b5）〖〗2＋（a6－b6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）－（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）
－（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）＋（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a5＋b5）〖〗2＋（b6－a6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）
ωyf
ωzf＋（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a3＋b3）〖〗2－（b3－a3）〖〗2cos（2ωxt）
－（a3＋b3）〖〗2－（a3－b3）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）αf
βf＝0，（3）
α·f
β·f＋（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）〖〗（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）＋（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）
－（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）－（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）·
αf
βf＋0-1
-10ωyf
ωzf＝0 （4）對于面對稱導(dǎo)彈，由于a1≠b1，a2≠b2，a3≠b3，a4≠b4，a5≠b5，a6≠b6，因而含有sin（2ωxt）和cos（2ωxt）項的系數(shù)不為0，角頻率為2ωx的擺動將不可避免的存在，考慮到擺動的幅值不大，且在彈體旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的平均效應(yīng)為0。因此，當(dāng)彈體旋轉(zhuǎn)頻率遠(yuǎn)大于彈體擾動運(yùn)動頻率時，完全可把含sin（2ωxt）和cos（2ωxt）的項略去不計［2］。所以，式（3）可變?yōu)槭剑?），式（4）可變?yōu)槭剑?）。ω·yf
ω·zf＝a5＋b5〖〗2〖〗－（a6＋b6）〖〗2
a6＋b6〖〗2〖〗a5＋b5〖〗2ωyf
ωzf＋－（a4＋b4）〖〗2〖〗a3＋b3〖〗2
a3＋b3〖〗2〖〗－（a4＋b4）〖〗2αf
βf，（5）
α·f
β·f＋a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2
－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1+b1〖〗2αf
βf＋0〖〗-1
-1〖〗0ωyf
ωzf＝0 （6）對式（6）求導(dǎo)，可得ω·yf
ω·zf＝β¨f
α¨f＋－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1＋b1〖〗2
a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2α·f
β·f,（7）令式（5）和式（7）右端相等，同時代入式（6）可得α¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2α·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4αf－
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2β·f－（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4βf＝0,（8）
β¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2β·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4βf+
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2α·f＋（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4αf＝0 （9）將式（8）乘以虛數(shù)i再與式（9）相加，可得復(fù)數(shù)表達(dá)式ξ~¨＋（A－iB）ξ~·－（C＋iD）ξ~＝0,（10）式（10）中，定義A＝［（a1＋b1）－（a5＋b5）］/2,
B＝［－（a2＋b2）＋（a6＋b6）］/2,
C＝（a3＋b3）/2＋（a1＋b1）（a5＋b5）/4－（a2＋b2）（a6＋b6）/4,
D＝（a4＋b4）/2＋（a1＋b1）（a6＋b6）/4＋（a2＋b2）（a5＋b5）/4,
ξ~＝βf＋iαf 式（10）為復(fù)攻角在t域的微分方程。
由于式（10）的系數(shù)與速度有關(guān)，這是一變系數(shù)微分方程，為使t域角運(yùn)動微分方程系數(shù)的時變性減弱，對式(10)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，有［3］df（x）〖〗dt＝df（x）〖〗dsds〖〗dt＝vdf（x）〖〗ds，
df（x）2〖〗d2t＝v2df（x）2〖〗d2s＋v·df（x）〖〗ds （11）應(yīng)用式（11），將式（10）變?yōu)棣蝵″＋［（v·/v＋A－iB）/v］ξ~′－
（1/v）2（C＋iD）ξ~＝0，（12）式（12）中，定義H＝（v·/v＋A）/v,
P＝B/v,
M＝C/v2,
PT＝D/v2,式（12）可寫為ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0 （13）式（13）為復(fù)攻角在s域的微分方程，將H，P，M，PT展開，并忽略氣動交叉項的影響，J＝Jy≈Jz，可得H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋（mβy＋mβ3yα2）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m［（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）］＋P0〖〗mv2 反坦克導(dǎo)彈、炮彈和火箭彈為軸對稱旋轉(zhuǎn)飛行器，軸對稱旋轉(zhuǎn)飛行器是面對稱旋轉(zhuǎn)飛行器的特例。對于軸對稱旋轉(zhuǎn)飛行器，有a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3，a4＝b4，〖〗a5＝b5，a6＝b6，復(fù)攻角在s域的微分方程也為ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0,（14）式（14）中:H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）＋P0〖〗mv2 4旋轉(zhuǎn)飛行器運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)
復(fù)攻角非線性微分方程（13）在實(shí)數(shù)域的攻角非線性微分方程組為α″f＋H（α2）α′f－M（α2）αf＋Pβ′f＋PT（α2）βf＝0,
β″f＋H（α2）β′f－M（α2）βf－Pα′f-PT（α2）αf＝0 （15）非線性微分方程組（15）是一個含有3個非線性函數(shù)，1個常數(shù)的四階微分方程組，判斷其解的穩(wěn)定性十分困難［4］。應(yīng)用李亞普諾夫第一近似理論，對于非線性微分方程組，如果其線性化微分方程組之特征方程的所有特征根均有負(fù)實(shí)部，則非線性微分方程組的原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定［5］。所以，可通過線性化

微分方程組的穩(wěn)定性來判斷非線性微分方程組的穩(wěn)定性。非線性微分方程組（15）的線性化微分方程組為α″f＋Hα′f－Mαf＋Pβ′f＋PTβf＝0,
β″f＋Hβ′f－Mβf－Pα′f-PTαf＝0,（16）式（16）中:H＝ρS〖〗2m（cαy－cαz）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M＝ρSL〖〗2J（mαz＋mβy）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m（cαy－cαz）＋P0〖〗mv2 
首先，通過數(shù)學(xué)變換（11），微分方程組（16）的系數(shù)時變性減弱了。其次，采用系數(shù)凍結(jié)法，在不長的彈道區(qū)間內(nèi)，微分方程組（16）的系數(shù)可視為常數(shù)。所以，線性化微分方程組（16）可看作線性定常系統(tǒng)，其特征方程為λ4＋h1λ3＋h2λ2＋h3λ＋h4＝0,（17）式（17）中:h1＝2H；h2＝P2＋H2－2M；h3＝2（P2T－MH）；h4＝M2＋（PT）2。
由勞斯-霍爾維茨方法可知，特征方程（17）全部根的實(shí)部都為負(fù)值的充要條件是下列條件成立［6］：h1＞0，h2＞0，h3＞0，h4＞0,
h1h2-h3＞0,
h1h2-h3＞h21h4/h3 （18）根據(jù)條件（18)，代入hi關(guān)系式后，整理可得H＞0,
P2T－MH＞0,
（P2＋H2/P2）［H（P2T－MH）－（PT）2］＞0 （19）式（19）中，第二式由第一、第三式成立而自然滿足，與式（19）等價的條件變?yōu)镠＞0,
H（P2T－MH）－（PT）2＞0 （20）式（20）中的第二式可化為0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1 （21） 所以，面對稱旋轉(zhuǎn)飛行器運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)為0＜σ＜1，由σ不僅可判斷是否滿足運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)，而且能夠反映出穩(wěn)定性的好壞，σ越小，穩(wěn)定性越好［7］。同理，可得到軸對稱旋轉(zhuǎn)飛行器的運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)也為0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1,（22）式（22）中：

H＝ρS〖〗2mcαy－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M＝ρSL〖〗2Jmαz＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2mcαy+P0〖〗mv2 
5結(jié)束語
本文得到的旋轉(zhuǎn)飛行器非線性運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)具有很強(qiáng)的通用性，對面對稱和軸對稱的旋轉(zhuǎn)飛行器都是適用的，不但適合于分析旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈和主動段火箭彈，也適合于分析炮彈和被動段火箭彈。
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